Uría, hijo del también abogado Rodrigo Uría González, se licenció en Derecho y se especializó en Derecho Societario y en fusiones y adquisiciones. En 1973 se incorporó a Uría y Menéndez, el despacho de abogados fundado por su padre junto a Aurelio Menéndez. En 1978 sucedió a su progenitor al frente del bufete. Bajo su dirección, se produjo la gran expansión de Uría y Menéndez, que en los siguientes 30 años pasaría a contar con 500 abogados y se implantó en Portugal, Reino Unido, Bélgica, Estados Unidos, Brasil, Chile, Argentina, México y Perú. En 2005 renunció a la dirección y asumió la Presidencia del bufete.

Hijo asimismo de la pintora asturiana Blanca Meruéndano fue un gran amante de las artes. De hecho, fue patrono de varios museos, entre ellos el Antropológico, el Thyssen, el Reina Sofía y, desde julio de 2004 hasta su fallecimiento, ejerció como presidente del Patronato del Museo del Prado de Madrid. Tras la votación en Pleno, el alcalde de Madrid, Alberto Ruiz-Gallardón, definió al homenajeado como "de una gran generosidad" y explicó que dejó "un rico sedimento de solidaridad en el que se establece" el actual "sistema de convivencia".

"Rodrigo Uría hizo de sus pasiones una forma de servir tanto como jurista como ciudadano desprendido", continuó el primer edil, que destacó asimismo la "actitud cordial con la que siempre se condujo". "Hoy Madrid le devuelve el favor poniendo su nombre a una plaza", concluyó Gallardón, quien agradeció asimismo a la viuda de Uría y a sus hijos su asistencia en la sesión plenaria, celebrada esta mañana en la Casa de la Villa de la capital.